函數的奇偶性（高中）
2014-03-14 點擊數：
函數的奇偶性
一、教學內容的地位和作用
本節課的內容是教材第三章第四節函數的基本性質的第一課時：函數奇偶性的概念和圖像特征。奇偶性是函數一條重要的基本性質，教材從學生熟悉的入手，從特殊到一般，從具體到抽象，介紹了函數的奇偶性的概念和圖像特征。從知識結構看，函數的奇偶性既是函數概念的延續和拓展，又是後麵研究冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的基礎。因此，本節課起著承上啟下的重要作用。
二、教學目標
1．理解偶函數與奇函數的概念和圖像特征，學會判斷函數奇偶性的方法；
2．通過不斷設置問題和學生思考問題、解決問題的過程，培養學生觀察、類比、歸納
的能力，同時滲透“數形結合”及“從特殊到一般”的思想方法；
3．在學習中，體驗數學的美感，培養善於觀察、總結的良好習慣和嚴謹的態度。
三、教學重點、難點
教學重點：偶函數和奇函數的概念、判斷及其圖像特征
教學難點：奇、偶函數概念的形成和函數的奇偶性的判斷
四、教學方法
在教法上，根據本節課內容，為了更有效地突出重點，突破難點，按照學生的認知規律，遵循教師為主導，學生為主體的指導思想，采用啟發式教學法和發展問題教學法。在學法上，通過創設問題情景，誘導學生思考，使學生始終處於主動探索問題的積極狀態，從而培養思維能力。
五、教學過程
（一）新課引入
我們有過許多對“美”的感受。如“對稱美”就大量存在於我們的生活中。（PPT演示對稱圖片，如蝴蝶，撲克牌，麥當勞標誌等）
提問：什麼是軸對稱圖形？
什麼是中心對稱圖形？
【解答：在平麵內，如果一個圖形繞著一條直線翻折1800後與原圖形重合，那麼這個圖形關於這條直線成軸對稱圖形。這條直線叫做該圖形的對稱軸。
如果一個圖形繞著一個點旋轉1800後與原圖形重合，那麼這個圖形關於這個點成中心對稱圖形。這個點叫做該圖形的對稱中心。】
在數學學習中，我們也可以感受到這種對稱美。PPT演示函數圖象
① ②
③ ④
（二）概念形成
下麵我們以為例先來研究軸對稱圖形。
提問：在平麵直角坐標係中，則函數圖像關於y軸對稱。那麼如何用解析式中的數量關係來描述函數關於y軸對稱的特性?
給學生一些提示：讓學生分別求出時的函數值，得出對任意，所以具有的特性。
給出概念：對任意實數，都有，那麼就把函數叫做偶函數。
概念的理解：思考以下問題
（1）判斷函數是否為偶函數？ （否，定義域關於原點不對稱）
（2）判斷函數是否為偶函數？ （否，不滿足任意）
根據上述例題的講解，讓學生思考概念中所包含的要點：
要點一：都有意義.-----定義域關於原點對稱。
要點二：任意，都有。強調任意性
提問：定義域關於原點對稱，是函數為偶函數的什麼條件？ 學生：（必要非充分條件）
（三）概念深化
【例1】求證：函數為偶函數。
思考：如何判斷一個函數是否為偶函數？[學生小組討論]
1、先看定義域是否關於原點對稱。
2、再驗證是否對任意都成立。（突出“任意”、“都”。）
提問：如果這個函數不是偶函數，你如何來說明理由？ [學生小組討論]
1、定義域關於原點不對稱，則函數不是偶函數。
2、定義域關於原點對稱，若存在某個，使得，則函數不是偶函數。
（突出舉具體的反例。）
【例2】判斷下列函數是否為偶函數？並說明理由。
（1）
（2）
（3）
[學生口答教師板演]
提問：偶函數的圖像有什麼特點？[再強調一下]
（如果函數是偶函數，那麼函數的圖像關於y軸對稱，反之，如果一個函數的圖像關於y軸成軸對稱圖形，那麼這個函數必是偶函數。）
【例3】如圖，已知偶函數在軸左側的圖像，作出在軸右側的圖像。
（四）類比研究
剛才我們研究了軸對稱圖形，接下來我們研究中心對稱圖形。（PPT演示圖像）
先看一個簡單的問題：
讓學生對照偶函數的概念，用類比的方法討論分析給出奇函數的概念並給出概念分析，判斷函數是奇函數的方法及奇函數的圖像特點。
奇函數概念：對任意實數，都有，那麼就把函數叫做奇函數。
要點分析：①定義域關於原點對稱；②對任意，都有。
判斷奇函數步驟：①求定義域，是否關於原點對稱；②分析是否恒成立。
奇函數圖象特征：關於原點中心對稱
[類比學習，學生討論教師總結，課件投影列出對照表]
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函數 |
偶函數 |
奇函數 |
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定義域 |
定義域關於原點對稱是奇、偶函數的必要條件 |
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概念 |
對於任意實數，都有 |
對於任意實數，都有 |
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圖像 |
偶函數的充要條件是函數圖象關於軸對稱 |
奇函數的充要條件是函數圖象關於原點中心對稱 |
【變式】將上述【例3】中的偶函數改成奇函數，作出相應圖像。
（五）難點突破
【例4】判斷下列函數的奇偶性，並說明理由。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
第（1）小題板書來示範解題的步驟，其他例題讓幾個學生板演，其餘學生在下麵自己完成，針對板演的同學所出現的步驟上的問題進行及時糾正，適時引導學生做好總結歸納。
小結：判斷函數的奇偶性就是研究函數是奇函數還是偶函數。
總結判斷函數奇偶性的步驟：【學生總結】
①判斷定義域是否關於原點對稱；
②分析 與的關係。
提問：判斷函數奇偶性的結果有哪幾種？
學生總結回答：對於一個函數來說,它的奇偶性有四種可能：
① 是奇函但不是偶函數,
② 是偶函數不是奇函數,
③ 既是奇函數又是偶函數,
④ 既不是奇函數又不是偶函數
（六）課堂小結
讓學生從知識，方法兩個方麵來對本節課的內容進行歸納總結，教師作補充
1、兩個概念：對於定義域內的任意一個,
如果都有為奇函數
如果都有為偶函數
2、兩個性質：
一個函數為奇函數它的圖象關於原點對稱
一個函數為偶函數它的圖象關於y軸對稱
3、判斷函數的奇偶性：先看定義域，後驗關係式。
①判斷定義域是否關於原點對稱；②分析 與的關係：若則為偶函數，若則為奇函數；③作出結論。
4、按函數的奇偶性可以把函數分為四類：
(1)奇函數;
(2)偶函數;
(3)既奇又偶函數 ;
(4)非奇非偶函數.
六、板書設計
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一、偶函數概念 。。。。。。。。。 要點1：。。。。 要點2：。。。。 判斷偶函數步驟： 1、。。。。。 2、。。。。。。 偶函數圖像特征 。。。。。。。。。 |
函數的奇偶性 二、奇函數概念 。。。。。。。 奇函數圖像特征 。。。。。。 函數奇偶性的分類： 1、。。。。 2、。。。。 3、。。。。 4、。。。。 |
【例3】
【例4】 1、 解：………………. 2、。。。。
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七、課後作業
【分層作業】
層次一：教材，練習3.4（1） 1,2,3,4,5,6
層次二：教材，練習3.4（1） 3,4,5
練習冊,習題3,4 A組 1,2,3,4 B組 2,3
【思考題】
1. 若是奇函數,則的值等於多少?
2. 既是奇函數又是偶函數的解析式能求出來嗎? 這樣的函數有多少個?
八、本教案說明及反思
本節課在素材的選取上，力求貼近生活實際，並且就地取材，創設學生熟悉的感興趣的情境，使學生能在輕鬆、愉快的教學情境中學習有用的數學，同時也能運用數學知識來分析問題和解決問題。教案的設計“以人為本，以學定教”，教師始終扮演的是組織者、引導者、參與者的角色，通過問題教學法，變“教的課堂”為“學的課堂”，學生成為課堂學習真正的主人。通過布置分層練習，麵對全體學生，使不同的人在數學上有不同的發展，讓不同的學生在數學學習上都能成功；倡導合作式學習，通過學生小組合作設計問題、小組交流解決問題的方式，提高學生合作學習、主動探究的能力，而且大大促進了學生對知識的理解和靈活運用。
【教學反思】成功的地方： 對概念分析的比較透徹，學生“數”“形”結合理解較深刻
不足的，應改進的地方： 課堂時間緊張，課堂練習不足，如何優化，思考中。。。。。。
學生作業反饋： 證明一個函數不是奇函數、不是偶函數，很不熟練，再加強練習
