从无用之用到数学之美（图）
2015-05-08
从传统教学模式下走出来的Sonia老师，一直在做一件事情，就是把传统教学理念和海外教学大纲融合起来，探索中西融合之道，发现数学之美。她的方法很特别，也很简单，不禁让我想起了《圣经》上的一句话：“让上帝的归上帝，凯撒的归凯撒。”
个人小传ID:new_jiaoshi
我是来自上海外国语大学西外外国语学校高中国际部的数学老师Sonia。过去两年半以来，我一直从事高一高二中英双语数学教学，在教学设计实施过程中不断探索如何把中国传统教学理念和海外数学课程如SAT，IBDP教学大纲有机融合起来。
从教期间，曾获得过校级教育创新奖和教学能手称号，也通过参加市区级、校级教师培训和各类教研活动与广大优秀的中国老师交流学习先进的教育教学理念、方法和技术。
教学方法
把课堂交还给学生
分层教学法和任务驱动教学法
早在几千年前，孔子便提出了因材施教观。但是在实际数学教学过程中，我常常困惑于该如何去因材施教。传统的大班化教学，容易让教师顾此失彼，无法兼顾每个学生的个体差异。国内的统考压力，又让老师没办法对数学教学内容大幅改革。
在这点上，我要感谢高中国际部实施的小班化分层教学，给我提供了相对自由的平台去摸索如何因材施教。
我的主要教学工作包括国际部高二全年级三个层次班的数学课程，以及高一一个层次班的数学。由于接触了不同层次的学生，所以我可以看到每一类学生的成长过程，从中也可以让我回忆起自己小时候成长的心路历程。
根据不同学生层次水平，我在教学重点上做了不同的设计。
A班（加强班）学生，课程上除原理讲解外，我更重视培养学生实际案例分析，图表分析计算能力以及语言表达能力。我会在课堂上让他们自己探索一些数学公式或原理的来龙去脉，我甚至会故意犯错，让他们发现问题，提出质疑。
我时常鼓励他们发现新方法，选择最适合自己的解题思路和记忆方法。比如多项式函数的绘制，我用函数图像性质教授他们描绘函数的大致走向，他们会想到用符号法来判断并描绘。因为有些同学对图像记忆非常敏感，而另一些则对数字记忆敏感。而A班（加强班）的同学，恰恰有能力发现自己擅长哪一方面，并能主动去进一步发掘自己的能力。我还会在课后，要求他们自行学习一些课堂上没有谈及的问题，让他们通过自学去解决新的问题。
R班（平行班）学生，我则在教学上更侧重帮助他们学会总结规律。我会带着他们编制各种方法口诀，也会推荐他们记忆方法。比如求最简行阶梯矩阵的时候，我带他们一起编写了：“自左向右，自上而下；先变1，后变0；变1用乘除，变0用加减”的口诀，虽然这不是一套最便捷的行变化方案，却让他们有法可依，不再畏惧那些陌生而复杂的问题。
ESL班（语言班）学生，我则主要锻炼学生读懂题目的能力，加强同类题型的反复操练。在课堂中加入更多游戏和口诀，帮助他们直观理解概念、步骤和方法。在题目设计上适当减少难度，减少变化题型，让他们有更多上黑板板演的机会，让他们在练习中看到自己的进步，逐渐找到数学学习的自信。有了自信心，才能打开后续学习的热情和积极性。
从高一带到高二，我很欣喜地看到一些普通班的孩子，突然在学习上有了觉悟。原先在课堂上不声不响的学生，这学期可以在课堂上主动和我对答问题了。过去总是容易开小差，讲话的学生，突然有一天开始认真听课，仔细记笔记，努力复习迎考了。
扪心自问，除了在课堂上给他们更多机会上黑板板演、比赛之外，并没有在课堂上刻意加入什么其他激励措施。课堂上，我也没有给大多数同学设置障碍式的难题，而是把更多时间留给他们了解数学题目里藏着的现实问题或哲学思想。
课后，和学生沟通以后，才了解到，原来有的学生是为了自己喜欢的海外明星，树立起了早日出国，申请到好大学的目标，自然而然就开始专注于学习了。就是这些让我始料未及的原因，突然有一天促动学生心中的种子萌发了。而我所要做的只是相信每个学生心中都有一颗种子，耐心守候它萌芽的一刻。
佛学上，六祖大师说过，何其自性，本自具足。人有很多与生俱来的能力，只是需要时间和耐心去把这些潜力，这些觉悟挖掘出来。我想分层教学，实际上就是能给一些学生足够的时间去自觉觉悟。
当然学生的觉悟，除了需要我们放手等待，也需要我们老师适当引导的。有些学生发现普通班学习难度相对其他班小，学习速度慢，就会宁愿留在普通班。
曾经有个家长着急地来反映，孩子故意考差，想留在普通班，想请我做做思想工作。这也让我第一次意识到，光给学生耐心还不够，还要经常和学生课后沟通，引导他们客观地评估自我。只有鼓励学生进行层次变动，才能让学生看清自己的优势，劣势，对自己的学习能力有更全面的认识。
除了分层教学因材施教，现代教育的转型，还强调把课堂交还给学生。传统的教授式学习，将逐渐转变为学生主动探究式教学。这也意味着，上课不再是单纯的本本之说，而是要以一系列主题、问题或任务驱动学生，开展以学生主动参与，积极探索的学习活动。
根据新课标，高中阶段学生在数学课上将学习一次函数，二次函数，幂函数，指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。对于函数章节的要求，实际上给高中数学课堂提供了很多生活化，开放化的可能。
函数是解决微观问题的有效工具，是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，它在生活中的实际应用相当广泛。因此我专门选取了高中数学函数模型及其应用这部分内容，结合经济学，金融学，以及生活中的常见问题，整合编写了“现实生活中的函数”这一主题单元。希望通过一系列贴近生活的，提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，激发学习数学的热情，开阔数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和美学价值。
比如，谈一次函数和二次函数的应用时，我会用生活中常见的打折问题为例，让学生分别从消费者和商家两个角度，去思考如何实现各自的利益最大化。通过探索最优打折促销方案，让学生们在实践中去体会一次函数、二次函数在生活中的的应用，加深其对函数概念、性质、图像的认识和理解。
根据常见的商家打折促销方案，我通常会设置三个案例。例一，超市最优消费方案；例二，最省电信套餐方案；例三，利润最大化促销方案。让学生分组讨论思考用什么方法描述案例中的问题。
对于A班（加强班）的学生，我还会要求他们尽可能用代数法，画图法等多种方法找到最优解。通过探究，对比，交流的方法，让学生了解和体会一次函数、二次函数在经济决策上的应用，学会用一次函数和二次函数模型的解析式法和图像法，找到打折促销方案的最优解。
又如，为了让学生体会生活中常见的两类指数增长模型，我会让学生比赛折纸。让学生动手对折A4纸，比赛谁对折的次数最多。
三个层次班的学生都会十分积极地参与到动手活动中，尤其是ESL（语言班）同学，更能在动手活动中投入学习热情。比赛结束后，我会让学生们思考折纸过程中会遇到什么困难。在学生思考折纸困难的过程中引导提问，让学生找出纸张层数与对折次数的关系，以及纸张对折后面积与对折次数的关系，启发他们建立起指数增长及指数递减模型，观察体会各类增长模型对应的不同变化趋势，并总结用出哪类函数适合描述哪些特定特征的增长规律。
课堂上，师生可以互动，互相启发，补充，活跃气氛，通过动手动脑，共同解决问题。即便是ESL（语言班）同学，也能在之后学习指数函数性质时，通过回忆折纸游戏，联想到指数函数的增减性特征。
无论是分层教学因材施教，还是任务驱动还学生课堂，整个教学过程中，评价环节都是一个相当复杂的过程。客观完整的评价需要我对不同层次学生的各个方面，包括学习能力，学习过程，学习态度习惯，学习方法，道德品质，审美情操，合作意识与能力等等进行全方面的量化或者非量化的可比较的评价。我在课上主要采用的评价方法有：
1. 标准化的评价方法，比如现场问答，小测验等
2. 行为表现评价：比如分组讨论，请学生上黑板板演等
3. 作品评价：比如数学探究项目报告
我个人感觉标准化评价在现场评价上，是比较有效率的，但是课后作业，或考试成绩却未必能反映学生的实时学习状态；
行为表现评价，对于A班（加强班）好学的学生，或者R班（平行班）及ESL(语言班)在努力的学困生而言，都是比较好的评价方式，可以从更全面的角度观测学生的学习情况和学习潜能；
作品评价，是对学生学习素养及其他相关能力，最为综合全面的评价方式，但是项目报告难度较大，完成时间一般较长，很难在一学期中多次进行，也很难在所有班级进行，所以一般只给A班（加强班）学生布置探究项目报告，给他们额外的难度系数加分。
而其他班的同学，我会要求他们在完成考试的同时，进行自主估分，估分差异在5分以内者，我会给予他们额外的加分，以鼓励他们积极地了解和自主评价自己的学习情况。
分层教学目前为止，还主要停留在我们老师主观根据成绩表现，课堂表现在给学生分层，还没让学生自觉意识到自己的层次水平。我想，通过学生自主估分，能把我们老师单方面帮学生分层，变成学生自觉选择合适的层次，从而更加有效地促进学生提升自己的层次。
教育理解
数学之美
大学学习信号原理时，我学过傅里叶变换，一个简单的坐标系变换，仿佛文学上常说的，换一个角度去看世界。那一刻，我开始了解到文理之间的共通之处。我也希望自己能把这样的理念带给我的学生，让他们了解到数学里的人文美，数学里的哲学美。
人们常说，世事无常，世界上唯一不变的就是一切都在变化。而我在数学课堂上问的最多的问题，也是“会改变么？”，“我们该如何适应变化？”，“我们该如何利用变化？”
我曾在一堂趣味数学课上，带着学生探索一个用代数方法可以破译的读心术，让同学们理解在变易中还有不变的真理，在变易中我们可以求得不变的规律。
学习圆的时候，我也引导过学生思考轮胎可不可以是方的问题，让他们跳出常规思维，想象适应多边形轮胎的各种路面。
也给他们见识到了国外专利技术的方形滑板轮胎，让他们了解到我们可以突破传统思维定式，在变易中求得不变的稳定，并把探索到的新发现，投入到生活中，应用到实处。
我相信，只要把数学思维放到变化的现实空间，抑或是想象空间，就可以给学生们展现出一个全新的世界，激发他们探索发现的潜能。数学之美，莫过于此。
汽车轮子可以是方的吗？
设想一下，假如汽车的轮子都换成正方形，还在平坦的路面上行驶，这样的汽车你敢坐吗？乘坐上去之后会有什么样的享受呢？
面对这样的问题，学生们普遍会根据常识，判断方轮子的汽车开在平坦路面上是颠簸不稳定的。此时追问原因，只能做到引导学生迁移“圆心到圆周处距离处处相等，所以稳定”的基本知识，却没办法让学生更深刻的理解稳定的本质。
因此，我会引导学生再变换场景去思考以下两个问题：
1）“假如轮胎是方的，怎么解决稳定性问题？”；
2）“有没有适合方形轮胎的路面？”
对于这类脱离常规场景的问题，学生很难在短时间内，靠抽象思考独立解决。我会安排学生分组讨论，设计制作方轮胎稳定滚动的flash方案。
在开始讨论制作前，我首先会请同学思考“如果圆轮胎稳定是因为圆心始终在一条水平线上，那么方轮胎运动稳定的几何意义是什么？”然后，我会给学生展示方轮胎在平地上滚动的flash，观察方轮胎质心的轨迹，并展示flash中的主要元件和关键帧，请他们思考，怎么改变关键帧，使方轮胎和圆轮胎一样稳定。
通常，经过几轮观察和探讨，学生比较容易得出“方轮胎需要质心稳定在水平线上运动才能稳定”的结论。
但是学生在探寻滚动轨迹的过程中，往往会因为着力于运动开始和结束的位置，忽略了运动过程中的特点，而无法把运动轨迹正确地描绘出来。这时候我会提示他们想想如何设置运动过程中的关键帧。在我的提示下，学生就能一步步描绘出方轮胎稳定滚动时的运动轨迹，最后直观的看到适合方轮胎的地面是由有规律的波浪构成的。
方轮胎的问题，到此为止看似已经变换完了，实则不然，我们还可以进一步变换，比如让学生课后去探索下正三角形、正五边形、正六边形、等正N边形轮胎稳定滚动的运动轨迹和适宜路面。
方轮胎有什么用？
很多学生抗拒数学，一是因为数学概念抽象，难以理解，二是因为不知道学习加减乘除以外的数学原理的目的是什么，总觉得学了没用。比如之前探讨方轮胎稳定运动可能性的问题，有学生会质疑，方轮胎在现实生活中有什么用呢？大马路上，到处跑着圆形轮胎的车子，我们为什么要去违反常理地造方轮胎呢？
确实，现实生活中没见过方轮胎的车子在马路上跑，因为路面通常都是水平的。但是，方轮胎也确实出现在了一些极限运动的设备上，比如滑板。
美国加州的一位滑板爱好者已经于2013年申请了方形滑板轮胎专利技术。这个近立方形的轮胎在纵向呈起伏波浪状，三维立体空间保证中心交替，让其在滚动时异常稳定，而不会是想象中那样停滞不前、或在高速时左右摇摆；而且在沙地等较软地面它能保持良好的抓地力，滑行非常平稳，近似蛇类爬行的样子。
互联网时代，信息科技正在挑战我们的教学方式，作为教师，目前的隐患是我们是否能意识到自己的缺陷，并不断敦促自己突破局限。中国教育一直在谈转型，作为老师的我们，自身也需要同步转型。在研习数学学科知识，教学方法的同时，我们还必须开阔眼界，去发现与数学相关的各类探索、实践及应用问题。只有我们老师的眼界打开了，才能让学生打开思路，主动去探索数学在本本知识以外的价值。
特别推介
闲暇时，读过一本《相约星期二》的书，一本关于“一个老人，一个年轻人，和一堂人生课”的故事。
得了绝症的老教授莫里，在生命最后一程，与学生米奇约定每周二上一堂人生课，直到离世。这堂特殊的课，没有书本，没有分数成绩，更没有及格不及格，却探讨了人性、道德、爱情、工作、社会、年龄、原谅以及死亡等人生重要的课题。
我想每一个即将成年的高中学生也正在逐渐拨开这些人生课程的神秘面纱。希望在与我共同度过的两三年里，他们也能从我的言传身教中获知一些关于人生的启蒙。（国际部）
2015-5-8
